金融 - 計量分析勉強メモ１

株価の収益率

t+Δt時点での株価をS(t+Δt)とすると、収益率Rは

$R=\frac{S(t+Δt)-S(t)}{S(t)}$

コールオプション

権利行使価格をEとすると、コールオプション価格をCとするとΔt後の利益は

$max(S(t+Δt)-E, 0)-C$

S(t+Δt)-E>Cの場合得、S(t+Δt)-E<Cの場合損

確率微分方程式

t～t+Δtでの収益率は

$\frac{S(t+Δt)-S(t)}{S(t)}=μΔt+σ\sqrt{Δt}Z$

uΔt:瞬間的な収益率

Δt⇒0で

$\frac{dS(t)}{S(t)}=μdt+δdW(t)$

W(t)：標準ブラウン運動

σ=0の場合、無リスク証券の価格変動

連続複利収益率

ブラウン運動

算術ブラウン運動

$dX(t)=μdt+σdW(t)$

方程式解：

$X(t)=X(0)+μt+σW(t)$

幾何ブラウン運動

$dX(t)=μX(t)dt+σX(t)dW(t)$

方程式解:

$X(t)=X(0)e^{(μ-\frac{σ^{2}}{2})t+σW(t)}$

O-U(オルンシュタイン-ユーレンベック)過程

$dX(t)=κ(μ-X(t))dt+σdW(t)$

方程式解：

$X(t)=μ+(X(0)-μ)e^{-κt}+σ\int_0^{t} e^{-κ(t-s)}dW(s)$

X(0)=xのときX(t)は

$N( (x-μ)e^{-κt}+μ, \frac{σ^{2}(1-e^{-2κt})}{2κ} )$

に従う。

t=0⇒∞で(中心,分散)が(x,0)⇒(μ,σ²/(2κ))

平方根過程

$dX(t)=κ(μ-X(t))dt+σ\sqrt{X(t)}dW(t)$

参考

ファイナンスへの計量分析

学習記録

日々の学習メモを残すためのブログ。雑多メモ多め。時々日常のこと。